5 octobre 2009

Nombres parfaits


Un nombre parfait est un nombre entier n strictement supérieur à 1 qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts (c'est-à-dire autres que lui-même).

Le premier nombre parfait est 6 car 1, 2, et 3 sont les diviseurs stricts de 6 et 1 + 2 + 3 = 6.
  • Pouvez-vous me démontrer que 28 et 496 sont parfaits ?
Dans les Éléments, Euclide (IIIe siècle av. J.-C.) a prouvé que si M = 2^p-1 est nombre premier de Mersenne, alors (M+1)*M/2 = (2^p - 1) *2^(p-1) est parfait.

Ainsi :
* 6 = 2^1(2^2-1)
* 28 = 2^2(2^3-1)
* 496 = 2^4(2^5-1)
* 8128 = 2^6(2^7-1)
* ...

Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premier de Mersenne (nombres premiers de la forme 2^p-1).

Il est établi que tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.

1 commentaire:

marjolaine a dit…

j'ai donné "monsieur parfait " en livre à celui dont on fête la st parfait : le loup!
j'ai pas encore trouvé "mr modeste"
musy
ps son' as tu envoyé la photo de le loup en blouse rose au loup?
je suis aussi intéressée pour la récupérer!

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